☆ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
En $2000$ , une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l'origine $2000$ ).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ , et satisfait l'équation différentielle  $(\text{E})y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{20}}y(3-\ln y)$ .

1. Démontrer l'équivalence suivante. 
Une fonction $f$ , dérivable, strictement positive sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ , vérifie, pour tout  $t$ de $[0;+\mathrm{\infty }[$ , $f^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{1}{20}}f(t)[3-\ln (f(t))]$ si et seulement si la fonction  $g=\ln (f)$ vérifie, pour tout $t$ de $[0;+\mathrm{\infty }[$ , $g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{1}{20}}g(t)-{\displaystyle \frac{3}{20}}$ .

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle  $(\text{H})z^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{20}}z-{\displaystyle \frac{3}{20}}$ .

3. En déduire qu'il existe un réel $C$ tel que, pour tout   $t$ de $[0;+\mathrm{\infty }[$ ,  $f(t)=\text{exp}[3+C\text{exp}\left({\displaystyle \frac{t}{20}}\right)]$  (la notation $\text{exp}$ désigne la fonction exponentielle naturelle $x\mapsto {\text{e}}^x$ ).

4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction $f$ définie par :  $f(t)=\text{exp}[3-3\text{exp}\left({\displaystyle \frac{t}{20}}\right)]$ .
    a. Déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+\mathrm{\infty }$ .
    b. Déterminer le sens de variation de  $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .
    c. Résoudre dans $[0;+\mathrm{\infty }[$ l'inéquation $f(t)<0,02$ . Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?